[k-mooc] 3.3 행렬대수_기본행렬

 

 

k-mooc 으로 선형대수학 독학하기 !

 

강의 내용 : 선형대수학

출처 : 성균관대학교 이상구 교수님

 

* 원래 강의는 sage를 이용하는데 중간부터 나는 R을 사용하는 것으로 변경함.

---

 

1~2강에서 전체적인 내용을 간략히 배우고

3강부터 상세하게 배우는 듯

 

---

 

[k-mooc] 3.2 행렬대수_역행렬

 

---

3.3 기본행렬(elementary matrix)

 

기본행렬(elementary matrix), 치환행렬(permutation matrix)

 

* 기본행렬(elementary matrices)은 $I_n$에 기본행연산(elementary row operation)을 한 번 적용해서 얻은 행렬임.

 

* 치환행렬(permutation mtarix)은 $I_n$의 행들을 교환하여 얻어진 행렬임.

 

 

 

[R 실습] 기본행렬

 

$\left[\begin{array}{c}100\\ 010\\ 001\end{array}\right]$

* 기본행렬

 

$\left[\begin{array}{c}100\\ 001\\ 010\end{array}\right]R_i\leftrightarrow R_j$

* 두 행을 교환함.

* 기본행렬의 2행인 $[010]$와 3행인 $[001]$을 교환함.

 

$\left[\begin{array}{c}100\\ 210\\ 001\end{array}\right]k{R}_j+R_i$

* 한 행에 영이 아닌 상수배를 해서 다른 행에 더함.

* 기본행렬의 1행에 2를 곱한 값은 2행에 더함.

 

$\left[\begin{array}{c}100\\ 030\\ 001\end{array}\right]k{R}_i$

* 한 행에 영이 아닌 상수배를 함.

* 기본행렬의 2행에 3을 곱함.

 

a <- c(1,0,0,0,1,0,0,0,1)
A = matrix(a,3,3,T) # 원소 a, 3행, 3열, 순서대로

B <- A
B[B[2,] <- A[3,], B[3,] <- A[2,]]

B <- A
B[2,] <- A[2,]+A[1,]*2

B <- A
B[2,] <- B[2,]*3

 

 

 

기본행렬의 역행렬

 

기본행렬의 역행렬 또한 기본행렬임.

 

1)

2)

3)

 

 

a <- c(1,0,0,0,1,0,0,0,1)
A = matrix(a,3,3,T)
solve(A)

b <- c(1,0,0,0,0,1,0,1,0) # 1
B = matrix(b,3,3,T)
solve(B)

c <- c(1,0,0,0,2,0,0,0,1) # 2
C = matrix(c,3,3,T)
solve(C)

d <- c(1,0,0,0,1,0,0,2,1) # 3
D = matrix(d,3,3,T)
solve(D)

 

1)

2)

3)

 

 

 

가역행렬과 동치인 명제

 

임의의 $n$차 정사각행렬 $A$에 대하여 다음은 동치임. (증명은 7장)

 

1) $A$는 가역(invertible)행렬임.

2) $A$는 $I_n$과 행동치(row equivalent)임. (즉, $RREF(A)=I_n$ 임)

3) $A$는 기본행렬(elementary matrix)들의 곱으로 쓸 수 있음.

4) $Ax=0$은 유일한 해(trivial solution) $0$을 가짐.

 

 

 

기본행연산

 

* $A^{-1}$이 존재할 때, $Ax=0$의 식에서 유일한 해 $x=0$을 갖게 됨.

* 기본행연산(ERO)을 유한히 반복함으로써, 단위행렬을 만들 수 있음.

* $A$가 단위행렬$(I_n)$과 행동치( $A$에 연산하면 $I_n$)이므로 $A$에 취하는 유한번의 ERO에 해당하는 유한개의 기본행렬이 존재하게 됨.

 

기본행렬과 기본행 연산을 이용한 역행렬

 

 

 

기본행렬로 역행렬 구하기

 

$[A:I_n]\to [I_n:A^{-1}]$

1) $[\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}{a}_{13}\\ a_{21}{a}_{22}{a}_{23}\\ a_{31}{a}_{32}{a}_{33}\end{array}\right]]:[\left[\begin{array}{c}100\\ 010\\ 001\end{array}\right]]$

주어진 행렬 $A$에 단위행렬 $I_n$을 첨가하여 $n\times 2n$인 행렬 $[A:I_n]$을 만듬.

 

2) 단계 1에서 만든 행렬 $[A:I_n]$의 RREF를 구함.

 

3) 단계 2에서 얻은 RREF를 $[C:D]$라고 하면 다음이 성립함.

* $C=I$이면 $D=A^{-1}$임.

* $C\ne I_n$이면 $A$는 비가역이고 $A^{-1}$은 존제하지 않음.

 

Gasuss-Jordan 소거법을 이용한 역행렬 연산

 

 

 

[R 실습] 기본행렬로 역행렬 구하기 1

 

Q)

 

A)

 

1) $[A:I_3]$를 만듬.

 

2) $[A:I_3]$의 RREF를 구함.

 

3) $C=I_3$이므로 $D=A^{-1}$임.

 

a <- c(1,2,3,2,5,3,1,0,8)
A = matrix(a,3,3,T)
solve(A)

 

 

 

[R 실습] 기본행렬로 역행렬 구하기 2

 

Q)

 

A)

$C\ne I_3$이므로 $A^{-1}$은 존재하지 않음.

 

 

 

 

 

[R 실습] 기본행렬로 역행렬 구하기 3

 

Q)

 

A)

library(MASS)
a <- c(1,-1,2,-1,0,2,-6,4,11)
A = matrix(a,3,3,T)
solve(A)
fractions(solve(A))