[k-mooc] 1 벡터

 

선형대수학은 "벡터(vector)", "행렬(matrix)"를 대상으로 연구함.

 

 

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1.1 공학과 수학에서의 벡터

1.2 내적과 직교

1.3 직선과 평면의 벡터 방정식

 

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1.1 공학과 수학에서의 벡터

 

물리학에서 벡터

운동법칙, 속도, 가속도, 힘 등을 나타내는데 쓰임

물리학적 힘의 구성은 전자기장 등의 다양한 벡터들의 공간을 나타내는데 쓰임

사회과학에서도 널리 쓰임

 

 

 

스칼라(scalar)

ex)길이, 넓이, 질량, 온도

 

크기가 주어지는 양적 값

 

 

 

벡터(vector)

ex) 속도, 위치이동, 힘

 

크기뿐만 아니라 방향까지 주어져야 표현할 수 있는 양적 값

즉, 크기와 방향을 갖는 유향선분

2차원, 3차원 공간의 벡터는 화살표로 표현할 수 있음.

 

 

 

 

영벡터

시작점과 끝점이 동일하여 크기가 0인 벡터

 

 

 

두 벡터의 합(vector sum)과 스칼라배(scalar multiplication)

두 벡터 x, y와 스칼라 k에 대하여, 두 벡터의 합 x+y와 스칼라배 kx에 대한 정의

1) x+ y는 평행사변형의 대각선으로 표시되는 벡터

 

 

2) kx는 k>0(양수)이면, x와 방향이 같고 길이는 k배하여 얻어지는 벡터임

k<0(음수)이면, x와 방향이 반대이고 길이는 $\mid k\mid$배하여 얻어지는 벡터임

k=0이면, 길이가 0인 벡터임

 

 

 

평면벡터(vector in the plane)

두 실수들의 순서조 $(x_1,y_1)$를 평면벡터라고 한다.

 

$x=(x_1,x_2)$

$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_2\end{array}\right]$

* 두 실수는 (평면)벡터 x의 성분(component)이다.

 

$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]$

* R²의 벡터 x = (x₁, x₂) , y = (y₁, y₂)에 대하여 x₁ = y₁ , x₂ = y₂이면 x = y라고 한다.

 

$R^2=(x_1,x_2)\mid x_1,x_2\in R$

* 두 원소는 벡터 공간에 속한다.

 

$\stackrel{⟶}{PQ}=\stackrel{⟶}{O{Q}^{\prime }}=(y_1-x_1,y_2-x_2)$

* 시작점이 원점이 아닌 벡터의 경우, 시작점 P의 벡터에서 끝점 Q의 벡터를 뺀 성분을 가짐.

 

 

 

평면에서의 벡터합, 스칼라배, 영벡터, 음벡터
(vector sum, scalar multiplication, zero vector in the plane)

$R^2$ 의 벡터 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]$와 스칼라 k에 대하여

 

$x+y=\left[\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ x_2+y_2\end{array}\right]$

* 벡터의 합

 

$x+(-1)x=0$

*영벡터와 음벡터

 

 

 

[실습] 평면에서의 벡터합, 벡터차, 스칼라배

a=vector([1, 2])           
b=vector([-2, 4])
# 벡터 생성, 형식은  a=vector([성분, 성분])
print "a=", a
print "b=", b
print
print "a+b=", a+b              # 벡터의 합
print "a-b=", a-b              # 벡터의 차
print "-2*a=", -2*a            # 벡터의 스칼라배

 

 

 

공간벡터(vector in space)

세 실수들의 순서조(x₁, y₁, z₁)를 공간벡터라고 한다.

 

$\stackrel{⟶}{PQ}=\stackrel{⟶}{O{Q}^{\prime }}=(y_1-x_1,y_2-x_2,y_3-x_3)$

* 시작점이$P(x_1,x_2,x_3)$, 끝점이 $Q(y1,y2,y3)$ 인 유향성분의 벡터

 

 

 

n차원 벡터(n-dimensional vector)

n개 실수들의 순서조(x₁, x₂, ,x₃ ... , x_n)를 n차원 벡터라고 한다.

 

 

 

[실습] n차원에서 벡터합, 벡터차, 스칼라배
(vector sum, scalar multiplication)

a=vector([1, 2, -3, 4])
b=vector([-2, 4, 1, 0])
# 벡터 생성, 형식은  a=vector([성분, 성분, ..., 성분])
print "a=", a
print "b=", b
print
print "a+b=", a+b               # 벡터의 합
print "a-b=", a-b               # 벡터의 차
print "-2*a=", -2*a            # 벡터의 스칼라배

 

 

 

n차원에서의 벡터 성질 1

Rⁿ의 벡터 x, y, z와 스칼라 h, k에 대하여 다음이 성립

 

* 덧셈 및 뺄셈은 순서, 괄호에 관계 없이 동일함

 

* 괄호 밖의 스칼라의 위치는 상관 없음

 

* 1을 곱하면 자기 자신

 

 

 

n차원에서의 벡터 성질 2

Rⁿ의 벡터 x와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립 

 

* 0을 곱하면 0임

 

* 음수와 벡터를 곱하면 음벡터

 

 

 

일차결합(linear combination)

$v_1,v_2,v_3,...,v_k$가 $R^n$의 벡터이고, 계수 $c_1,c_2,c_3,...,c_k$가 실수일 때,

$x=c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3+...+c_k{v}_k$

의 형태를 $v_1,v_2,...,v_k$의 일차결합이라고 한다.

 

 

 

[실습] 벡터 a,b,c의 일차결합

a=vector([1, 2, -3, 4])            
b=vector([-2, 4, 1, 0])
c=vector([5, -2, 3, -7])
print "a=", a
print "b=", b
print "c=", c
print
print "2*a-3*b+c=", 2*a-3*b+c       # 일차결합

 

 

 

 

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1.2 내적과 직교

 

노름, 거리(norm, distance)

$\parallel x\parallel =\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2}$

* Rⁿ의 벡터 x(x₁, x₂, .... , x_n)에 대한 노름(norm, length, magnitude)임.

* 원점에서 P(x₁, x₂, .... , x_n)에 이르는 거리로 정의함.

 

 

 

$\parallel x-y\parallel =\sqrt{{(x_1-y_1)}^2+{(x_2-y_2)}^2+...+{(x_n-y_n)}^2}$

* 두 점 P(x₁, x₂, .... , x_n)와 Q(y₁, y₂, .... , y_n)에 이르는 거리

 

 

 

[실습] 벡터의 노름, 거리 구하기

a=vector([2, -1, 3, 2])            
b=vector([3, 2, 1, -4])
print "a=", a
print "b=", b
print
print "|a|=", a.norm()                     # 노름 계산, 형식은 a.norm()
print "|b|=", b.norm()                     # 노름 계산
print "|a-b|=", (a-b).norm()                  # 거리 계산

 

 

 

내적(Euclidean inner product, dot product)

$x·y=x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n+y_n$

* Rⁿ의 벡터 x(x₁, x₂, .... , x_n)와 y(y₁, y₂, .... , y_n) 대한 내적(norm, length, magnitude)임.

* 내적은 x·y로 표시함.

 

 

 

같은 벡터의 내적

$x·x=x_1{x}_1+x_2{x}_2+...+x_n{x}_n=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=\parallel x{\parallel }^2$

 

 

 

[실습] 두 벡터의 내적

a=vector([2, -1, 3, 2])            
b=vector([3, 2, 1, -4])
print "a=", a
print "b=", b
print 
print a.inner_product(b)
# 내적 계산, 형식은 a.inner_product(b)

 

 

 

내적의 성질

Rⁿ의 벡터 x, y, z와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립

 

 

 

코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857, France)

 

Hermann Schwarz (1843-1921, Germany-Switzerland)

Rⁿ의 임의의 벡터 x, y에 대하여 다음이 성립

$\mid x·y\mid \le \parallel x\parallel \parallel y\parallel$

* x와 y의 내적에 대한 절대값이 x와 y 각각의 노름의 곱보다 작거나 같다.

 

 

 

두 벡터 사이의 각(angle)

$x·y=\parallel x\parallel \parallel y\parallel cos\theta (0<\theta <\pi )$

* θ는 x와 y가 이루는각(angle, 사잇각)

 

 

 

직교와 평행

x와 y의 내적이 0일 때, x와 y는 서로 직교한다.

= 두 벡터 x와 y의 사잇각이 직각이면 직각임.

 

적당한 실수 k에 대하여 x = ky인 경우, x는 y와 평행한다.

= x가 y의 스칼라 배이면 평행임.

 

 

 

단위벡터, 직교벡터, 정규직교벡터
(unit vector, orthogonal vector, orthonormal vector)

$\parallel x\parallel =1$

* Rⁿ의 벡터 x에 대하여 노름이 1인 경우, 단위벡터(unit vector)라고 함.

 

$\mid x·y\mid =0$

* Rⁿ의 벡터 x, y가 직교이면, 직교벡터(orthogonal vector)라고 함.

 

* x와 y가 직교벡터이면서 각각 단위벡터이면 정규직교벡터(orthonormal vector)라고 함.

 

 

 

[실습] 두 벡터의 내적

a=vector([1, 0, 1, 1])            
b=vector([-1, 0, 0, 1])
print "a=", a
print "b=", b
print 
print a.inner_product(b)

 

 

 

벡터에 대한 삼각부등식(triangle inequality)

$\parallel x+x\parallel \le \parallel x\parallel +\parallel y\parallel$

 

 

 

기본단위벡터(standard unit vector)

$u=\frac{1}{\parallel X\parallel }X$

* 임의의 벡터 X(≠0)에 대한 단위벡터라고 함.

 

$e_1=(1,0,0,...,0)$
$e_2=(0,1,0,...,0)$
$...$
$e_n=(0,0,0,...,1)$

* Rⁿ의 단위벡터 중 n개의 벡터를 기본단위벡터(standard unit vector, 표준단위벡터)라고 함.

 

 

 

기본단위벡터와 임의의 벡터

$X=x_1{e}_1+x_2{e}_2+....+x_n{e}_n$

 

 

 

 

 

 

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1.3 직선과 평면의 벡터 방정식

 

직선의 방정식 (기울기(방향벡터)와 한 점)

$R^3$에서 직선 $l$은 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$를 지나고 0이 아닌 벡터 $a=ai+bj+ck$에 평행함.

벡터 $a$와 $\stackrel{⟶}{P_{0}P}$가 평행함. 즉, $\stackrel{⟶}{P_{0}P}=ta$, $(t\in R)$를 만족하는 점 $P(x,y,z)$ 전체의 집합과 같다.

 

$P=P_0+ta,(p=\stackrel{⟶}{OP},p_0=\stackrel{⟶}{O{P}_0})$

* 벡터방정식

* 점 $P(x,y,z)$에 대하여 정리

 

$x=x_0+ta,y=y_0+tb,z=z_0+tc,(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty })$

* 직선의 매개변수 방정식

* 각 매개변수 $x,y,z$에 대하여 정리

 

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}(=t),(a,b,c\ne 0)$

* 직선의 대칭방정식

* t(스칼라배)에 대하여 매개변수 방정식을 정리

 

 

 

직선의 방정식 1

점 $P(2,-1,3)$을 지나고 벡터 $a=(-3.2.4)$에 평행한 직선의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있음.

 

(1)

$xi+yi+zk=2i-j+3k+(-3i+2j+4k)t$

(2)

$\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=-1+2t(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty })\\ ⋮\\ =4+4t\end{array}$

(3)

$\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{4}$

 

 

 

직선의 방정식 2

Q) 두 점 \( P \left( -1,2,4 \rignt), Q \left( 2,0,-1 \right)을 지나는 직선의 매개(변수) 방정식을 구하라.

 

A)

• 1) 직선에 평행한 0이 아닌 벡터(내적) 구하기
  $\stackrel{⟶}{PQ}=((-1-2),(2-0),(4--1))=(-3,2,5)$
•  2) 점 $P$를 지나고 벡터와 평행하는 매개변수 구하기
  $x=-1-3t,y=-2-2t,z=4-5t(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty })$

 

 

 

평면의 방정식 (point-noraml 방정식, 법선벡터(normal vector)와 한 점)

$R^3$에서 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$를 지나고 0 아닌 벡터를 $n=(A,B,C)$ 법선벡터라고 함.

 

 

$n·\stackrel{⟶}{P_{0}P}=(A,B,C)·(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$

* 법선벡터에 수직인 벡터들이 이루는 평면$\pi$

 

 

$ax+by+cz+d=0$

* 일반적인 평면의 방정식

 

$x=x_0+t_1{v}_1+t_2{v}_2,(-\mathrm{\infty }<t_1,t_2<\mathrm{\infty })$

* 평면의 벡터방정식

 

$\begin{array}{rl}& x_0=(x_0,y_0,z_0),\\ & v_1=(a_1,b_1,c_1),\\ & v_2=(a_2,b_2,c_2)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& x=x_0+a_1{t}_1+a_2{t}_2,\\ & y=y_0+b_1{t}_1+b_2{t}_2,\\ & z=z_0+c_1{t}_1+c_2{t}_2\end{array}$

* 평면의 매개변수 방정식

 

 

 

[실습] 평면의 방정식

Q) 세 점 $P(4,-3,1),Q(6,-4,7),R(1,2,2)$를 지나는 평면의 벡터방정식과 매개(변수) 방정식을 구하라.

 

A)

• 한 점 $P(4,-3,1)$과 두 벡터 $Q,R$의 벡터방정식
  $x_1-x_0=\stackrel{⟶}{PQ}=((6-4),(-4+3),(7-1))=(2,-1,6)$
  $x_2-x_0=\stackrel{⟶}{PR}=((1-4),(2+3),(2-1))=(-3,5,1)$
  $P=x_0+(2,-1,6)t_1+(-3,5,1)t_2$
  
  
• 한 점 $P(4,-3,1)$의 각 매개변수에 대한 방정식
  $\begin{array}{rl}& x=4+2t_1-3t_2\\ & y=-3-t_1+5t_2(-\mathrm{\infty }<t_1,t_2<\mathrm{\infty })\\ & z=1+6t_1+t_2\end{array}$
  
  

var('t,x,y,z,P_1,Q_1,R_1,P_2,Q_2,R_2,P_3,Q_3,R_3')
@interact
def _(p1=input_box(vector([4,-3,1]), label="$P$", type=vector),p2=input_box(vector([6,-4,7]), label="$Q$", type=vector),p3=input_box(vector([1,2,2]), label="$R$", type=vector), auto_update=false ):
    A=matrix(4,4,[1,x,y,z,1,p1[0],p1[1],p1[2],1,p2[0],p2[1],p2[2],1,p3[0],p3[1],p3[2]])
    A1=matrix(3,3,[p1[0],p1[1],p1[2],p2[0],p2[1],p2[2],p3[0],p3[1],p3[2]])
    A2=matrix(3,3,[1,p1[1],p1[2],1,p2[1],p2[2],1,p3[1],p3[2]])
    A3=matrix(3,3,[1,p1[0],p1[2],1,p2[0],p2[2],1,p3[0],p3[2]])
    A4=matrix(3,3,[1,p1[0],p1[1],1,p2[0],p2[1],1,p3[0],p3[1]])
    aa=A.det();    a1=A1.det();    a2=A2.det();    a3=A3.det();    a4=A4.det()
    f=a1-a2*x+a3*y-a4*z
    RRR=matrix(4,4,[1,x,y,z,1,P_1,Q_1,R_1,1,P_2,Q_2,R_2,1,P_3,Q_3,R_3])
    ma=[];    mi=[];    PP=[p1,p2,p3]
    for i in srange(0,3,1):
        ma += [max(p1[i],p2[i],p3[i])];        mi += [min(p1[i],p2[i],p3[i])]
    try:
        D= A.inverse()   
        P = implicit_plot3d(f==0, (x,mi[0]-1,ma[0]+1),(y,mi[1]-1,ma[1]+1),(z,mi[2]-1,ma[2]+1), opacity=0.2,color="red")
        for i in srange(0,3,1):
            P += point3d([PP[i]],size=10)
            P += text3d(vector(PP[i]),vector(PP[i])-vector([0,0,0.3]))
        TT ='det$%s =0$'%(latex(RRR))
        TT +='<p>$\Rightarrow  %s =0$'%(latex(f)) 
        html.table([[TT]])
        P.show(spin='true')
    except:
        html( '$P_1,P_2,P_3$ are collinear.$')

 

 

 

정사영(projection)

$R^3$에 벡터 $x=\stackrel{⟶}{OQ}$와 $y=\stackrel{⟶}{OP}$가 있고 $x\ne 0$이며, 점 $P$에서 $OQ$에 내린 수선의 발을 $S$라고 할 때,

 

 

 

벡터 $p=\stackrel{⟶}{OS}$를 $x$ 위로의 $y$의 정사역이라고 하며 $pro{j}_{x}y$로 나타냄.

이때 벡터 $w=\stackrel{⟶}{SP}$를 $x$에 수직인 $y$의 벡터성분(vector component)이라 함.

 

$R^3$의 벡터 $x(\ne 0),y$에 대하여 다음이 성립함.

$pro{j}_{x}y=tx=\frac{(y·x)}{x·x}x$ 

$D=\parallel pro{j}_{x}y\parallel =\frac{\mid y·x\mid }{\parallel x\parallel }$ 

 

 

 

[실습] 정사영과 벡터 구하기

Q) $x=(2,-1,3),y=(4,-1,2)$에 대하여 $x$ 위로의 $y$의 정사영 $pro{j}_{x}y$와 $x$에 수직인 $y$ 벡터성분 $w$를 구하라.

 

a)

• 정사영 
  $pro{j}_{x}y=\frac{(2\times 4)+(-1\times -1)+(3\times 2)}{(2{)}^2+(-1{)}^2+(3{)}^2}(2,-1,3)$
  
  
• 벡터 w
  $w=y-pro{j}_{x}y=(4,-1,2)-(\frac{15}{7},\frac{-15}{14},\frac{45}{14})=(\frac{13}{7},\frac{1}{14},\frac{-17}{14}$
  
  

x=vector([2, -1, 3])            
y=vector([4, -1, 2])
yx=y.inner_product(x)
xx=x.inner_product(x)
p=yx/xx*x
w=y-p    
print "x=", x
print "y=", y
print        
print "p=", p
print "w=", w

 

 

 

점과 평면 사이의 거리

$D=\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

* 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$와 평면 $\pi :ax+by+d=0$ 사이의 거리 D

 

 

 

점과 평면 사이의 거리(D) 구하기

Q) 점 $P(3,-1,2)$에서 평면 $x+3y-2z-6=0$에 이르는 거리 $D$를 구하라.

 

A)

$D=\frac{(1\times 3)+(3\times -1)+(-2\times 2)+(-6)}{\sqrt{1^2+3^2+(-2{)}^2}}$

 

 

 

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참고

위키백과:TeX 문법 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

http://matrix.skku.ac.kr/K-MOOC-LA/LA-Book.pdf