[kmooc] 3.1 행렬대수 - 행렬연산

 

앞으로 한 번에 안올리고 나눠서 올려야겠다 ^o^~

계속 스크롤 내려서 작성하려니 힘들어서

그냥 하나 하고 올리는 걸로 변경 ㅎㅎ

 

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[k-mooc] 02 선형연립방정식

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3.1 행렬연산

3.2 역행렬

3.3 기본행렬(Elementary matrics)

3.4 부분공간과 일차독립

3.5 선형연립방정식의 해집합과 행렬

3.6 특수행렬들

3.7 LU-분해

 

 

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3.1 행렬연산

 

행렬의 상등(equal)

 

* \( A = B \), 서로같다(equal)
\( A = [ a_{ij} ] _ {m \times n}, B = [b_{ij}]_{m \times n} \)가 모든 \( i, j \)에 대하여 \( a_{ij} = b_{ij} \)를 만족함.
상등이 정의되려면 두 행렬의 크기가 같아야 함.

 

 

\( a_{ij} = b_{ij} \)를 만족해야 함. 즉, 대응하는 성분이 모두 같아야 함

\( \therefore w = -1, x = -3, y = 0, z = 5 \)

 

 

 

행렬의 덧셈(sum), 스칼라배(scalar multiple)

 

두 행렬 \( A = [a_{ij}]_{m \times n}, B = [b_{ij}]_{m \times n} \)와 실수 \( k \)에 대하여 다음과 같이 정의함.

 

* \( A + B \) \( A \)와 \( B \)의 합(sum)

\( A + B = [a_{ij} + b_{ij}]_{m \times n} \)

 

* \( A \)의 스칼라배(scalar multiple) \( kA \)

\( kA = [ka_{ij}]_{m \times n} \)

 

 

 

[R 실습] 행렬의 덧셈과 스칼라배

 

 

a <- c(1, 2, -4, -2, 1, 3)
b <- c(0, 1, 4, -1, 3, 1)
c <- c(1, 1, 2, 2)

A = matrix(a, nrow=2, ncol=3, byrow=T)
B = matrix(b, nrow=2, ncol=3, byrow=T)
C = matrix(c, nrow=2, ncol=2, byrow=T)

A+B
-1 * C

 

 

 

행렬의 곱셈(multiplication)

 

두 행렬 \( A = [a_{ij}]_{m \times p} , B = [b_{ij}]_{p \times n} \)에 대하여 다음과 같이 정의함.

 

* \( A \)와 \( B \)의 곱(multiplication) AB

\( AB = [c_{ij}]_{m \times n} \)
\( c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b{pj} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj} \)

* \( (1 \le i \le m, 1 \le j \le n ) \)

 

 

* 행렬의 곱이 성립하기 위한 조건

 

 

 

행렬 곱의 의미

 

\( A = [a_{ij}]_{m \times p}, B = [b_{ij}]_{p \times n}라 하고

\( A \)의 \( i \)번째 행을 \( A_{(i)} \) , \( A \)의 \( j \)번째 열을 A_{(j)}로 표기하면

 

 

 

앞의 행렬의 행벡터와 뒤의 행렬의 열벡터의 내적(inner product)이 해당 위치의 원소 값이 됨.

 

 

 

 

[R 실습] 행렬의 곱셈(multiplication)

 

 

a <- c(1, 2, -1, 3, 1, 0)
b <- c(-2, 1, 0, -3, 2, 1)

A = matrix(a, nrow=2, ncol=3, byrow=T)
B = matrix(b, nrow=3, ncol=2, byrow=T)

A%*%B

 

 

 

 

행렬의 곱을 이용한 선형연립방정식의 벡터 형식 표현

 

* 행렬의 곱을 이용하면 선형연립방정식을 쉽게 표현할 수 있음.

 

* 선형연립방정식

 

* 계수, 미지수, 상수항

 

\( Ax = b \Leftrightarrow x_1A^{(1)} + x_2A^{(2)} + \cdots + x_nA^{(n)} = b \)

 

* 선형연립방정식의 일반적 형식

 

* 선형연립방정식의 벡터 형식

 

 

 

행렬의 연산법칙

행렬 \( A,B,C \)는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, \( a, b \)가 스칼라일 때, 다음이 성립함.

 

 

 

 

[R 실습] 곱셈의 결합법칙

 

 

a <- c(1, 2, 3,4,0,1)
b <- c(4, 3, 2, 1)
c <- c(1,2,0,3)

A = matrix(a, nrow=3, ncol=2, byrow=T)
B = matrix(b, nrow=2, ncol=2, byrow=T)
C = matrix(c, nrow=2, ncol=2, byrow=T)

(A%*%B)%*%C
A%*%(B%*%C)

 

 

 

 

[R 실습] 행렬의 연산법칙

 

 

* 행렬의 곱 \( AB \)는 \( 2 \times 3, 3 \times 4 \)로 정의되지만, \( BA \)는 \( 3 \times 4, 2 \times 3 \)정의되지 않음.

* 행렬의 곱 \( AC \)는 \( 2 \times 2 \)행렬이지만, \( CA \)는 \( 3 \times 3 \) 행렬이므로, \( AC \ne CA \)임.

* 또한, \( DE \)나 \( ED \)는 모두 \( 2 \times 2 행렬이지만, 성분이 같지 않아 \( DE \ne ED \)임.

 

a <- c(5,2,3,-2,-3,4)
b <- c(1,0,1,0,0,2,2,2,3,0,-1,3)
c <- c(1,0,2,-3,2,1)
d <- c(-1,0,2,3)
e <- c(1,2,3,0)

A = matrix(a, nrow=2, ncol=3, byrow=T)
B = matrix(b, nrow=3, ncol=4, byrow=T)
C = matrix(c, nrow=3, ncol=2, byrow=T)
D = matrix(d, nrow=2, ncol=2, byrow=T)
E = matrix(e, nrow=2, ncol=2, byrow=T)

A%*%B # AB
B%*%A # BA

A%*%C # AC
C%*%A # CA

D%*%E # ED
E%*%D # DE

 

 

 

 

영행렬(zero matrix)

 

* 모든 성분이 0인 행렬로 \( O \) 또는 \( O_{m \times n} \)로 나타냄.

 

* 임의의 행렬 \( A \)와 영행렬 \( O \)에 대하여 다음이 성립함

 

* \( AB = O \)이지만 \( A \ne O, B \ne O \)일 수도 있음
  \( AB = AC, A \ne O \)이지만 \( B \ne C \)일 수도 있음

 

a <- c(0,1,0,2)
b <- c(1,1,3,4)
c <- c(2,5,3,4)
d <- c(3,7,0,0)

A = matrix(a, nrow=2, ncol=2, byrow=T)
B = matrix(b, nrow=2, ncol=2, byrow=T)
C = matrix(c, nrow=2, ncol=2, byrow=T)
D = matrix(d, nrow=2, ncol=2, byrow=T)

A%*%B # AB
A%*%D # AC

 

 

 

 

단위행렬(identity matrix)

 

단위행렬(indentity matrix, \( I_n \)은 주대각선성분이 모두 1이고 나머지 성분은 모두 0인 \( n \)차의 정사각형 행렬임.

 

 

\( A \)가 \( m \times n \)행렬일 때, 단위행렬 \( I_m, I_n \)에 대하여 다음이 성림함.

\( I_mA = A = AI_n \)

* 즉, 단위행렬 \( I_n \)과 행렬 \( A \)를 곱하면 자기 자신인 \( A \)가 나옴.

 

 

 

[R 실습] 단위행렬

 

a <- c(4,-2,3,5,0,2)

A = matrix(a, nrow=2, ncol=3, byrow=T)
I2 = matrix(c(1,0,0,1), nrow=2, ncol=2, byrow=T)
I3 = matrix(c(1,0,0,0,1,0,0,0,1), nrow=3, ncol=3, byrow=T)

I2%*%A # I2A
A%*%I3 # AI3

 

 

 

 

거듭제곱(power of matrices)

 

\( A \)가 \( n \)차의 정사각행렬일 때,
\( A \)의 거듭제곱(power of matrices)을 다음과 같이 정의함.

 

\( A^0 = I_n, A^k=A A \cdots A \)

* \( k \)개

 

\( \begin{align} ( a + b )^2 = a^2 + ab + ba + b^2 \\ a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{align} \)

* 실수의 거듭제곱

 

\( (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \)

* 행렬의 거듭제곱

* \( AB = BA \)인 경우에만, \( A+B )^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)이 성림함.

 

 

 

전치행렬(transpose)

 

행렬 \( A = [a_{ij}]_{m \times n} \)에 대한 \( A \)의 전치행렬

 

\( A^T = [a_{ij}']_{n \times m}, a_{ij}' = a_{ji} ( 1 \le i \le n, 1 \le j \le m ) \)

* 전치행렬은 원 행렬의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬임.

 

 

 

[R 실습] 전치행렬(transpose)

 

다음 행렬들의 전치행렬을 구하라.

a <- c(1,-2,3,4,5,0)
b <- c(1,2,-4,3,-1,2,0,5,3)
c <- c(5,4,-3,2,2,1)
d <- c(3,0,1)
e <- c(2,0,3)

A = matrix(a, nrow=2, ncol=3, byrow=T)
B = matrix(b, nrow=3, ncol=3, byrow=T)
C = matrix(c, nrow=3, ncol=2, byrow=T)
D = matrix(d, nrow=1, byrow=T)
E = matrix(e, ncol=1, byrow=T)

t(A)
t(B)
t(C)
t(D)
t(E)

 

 

 

 

전치행렬과 스칼라 \( k \)

 

두 행렬 \( A, B \)와 임의의 스칼라 \( k \)에 대하여 다음이 성립함.

 

 

 

[R 실습] 전치행렬

 

 

a <- c(1,3,2,5)
b <- c(1,1,3,2,1,4)

A = matrix(a, nrow=2, ncol=2, byrow=T)
B = matrix(b, nrow=2, ncol=3, byrow=T)

t(A%*%B)
t(B)%*%t(A)

 

 

 

 

대각합(trace)

 

행렬 \( A = [a_{ij}]_{n \times n ] \)의 대각합(trace)

행렬 A의 전치행렬의 합

 

\( tr(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \sum_{i_1}^na_{ii} \)

 

\( A, B \)가 같은 크기의 \( tr(A-B) = tr(A) - tr(B) \) 정사각행렬이고, \( c \in R \)