[k-mooc] 3.2 행렬대수_역행렬

 

 

아직까진 할만하다 홧팅~~.~

 

 

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[kmooc] 03-1 행렬대수 - 행렬연산

 

 

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3.1 행렬연산

3.2 역행렬

3.3 기본행렬(Elementary matrics)

3.4 부분공간과 일차독립

3.5 선형연립방정식의 해집합과 행렬

3.6 특수행렬들

3.7 LU-분해

 

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3.2 역행렬

 

역행렬(inverse matrix)

 

* 가역(invert, nonsingular) \( A \)는 \( n \)차의 정사각행렬 \( A \)에 대하여

\( AB = I_n = BA \)를 만족하는 B가 존재함.

 

* 이때 \( B \)를 \( A \)의 역행렬(inverse matrix)라고 함.

 

* \( B \)가 존재하지 않으면 \( A \)는 비가역(noninvertilble singular)라고 함.

 

\( \begin{align} & A = \begin{bmatrix} 2 \ -5 \\ -1 \ 3 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 3 \ 5 \\ 1\ 2 \end{bmatrix} \\ & AB = \begin{bmatrix} 2 \ -5 \\ -1 \ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{bmatrix} = I_2 , \\ & BA = \begin{bmatrix} 3 \ 5\\ 1\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \ -5 \\ -1 \ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{bmatrix} = I_2 \end{align} \)

* \( B \)는 \( A \)의 역행렬임.

 

 

 

[R 실습] 가역행렬과 비가역행렬

 

Q) 행렬 \( A = \begin{bmatrix} 1 \ 4 \ 3 \\ 2\ 5\ 6 \\ 0\ 0\ 0 \end{bmatrix} \)의 역행렬 존재 유무

 

A)  3행의 성분이 모두 \( 0 \)이므로 \( A \)의 역행렬을 임의의 \( 3 \times 3 \) 행렬 \( B = \begin{bmatrix} b_{11} \ b_{12} \ b_{13} \\ b_{21} \ b_{22} \ b_{23} \\ b_{31} \ b_{32} \ b_{33} \end{bmatrix} \)의 행렬식인 \( det(A) \)가 \( 0 \)임.

따라서 \( AB = I \)인 \( B \)가 존재하지 않음. 즉, 역행렬 \( B \)가 존재하지 않으므로 \( A \)는 비가역 행렬임.

 

a <- c(1,4,3,2,5,6,0,0,0)

A = matrix(a,3,3,T)
det(A) # 0
sovle(A) # error

 

 

 

역행렬 증명

 

* \( n \)차의 정사각행렬 \( A \)가 가역이면, \( A \)의 역행렬은 유일함.

\( \begin{align} & AB = BA = I_n , \\ & AC = CA = I_n \\ & B = BI_n \\ & \quad = B(AC) = (BA)C = I_nC = C \end{align} \) 

 

 

* \( A \)가 가역행렬이면, 전치행렬인 \( A^T \)도 가역행렬임.

\( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)

 

 

 

[R 실습] 역행렬

 

Q)

 

A)

a <- c(3,5,1,2)
b <- c(1,3,2,7)

A = matrix(a,2,2,T) # 원소 a, 2행, 2열, 순서대로
B = matrix(b,2,2,T)

det(A) # 1
det(B) # 1

solve(A%*%B)
solve(B)%*%solve(A)