[k-mooc] 3.3 행렬대수_기본행렬

 

 

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강의 내용 : 선형대수학

출처 : 성균관대학교 이상구 교수님

 

* 원래 강의는 sage를 이용하는데 중간부터 나는 R을 사용하는 것으로 변경함.

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1~2강에서 전체적인 내용을 간략히 배우고

3강부터 상세하게 배우는 듯

 

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[k-mooc] 3.2 행렬대수_역행렬

 

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3.3 기본행렬(elementary matrix)

 

기본행렬(elementary matrix), 치환행렬(permutation matrix)

 

* 기본행렬(elementary matrices)은 \( I_n \)에 기본행연산(elementary row operation)을 한 번 적용해서 얻은 행렬임.

 

* 치환행렬(permutation mtarix)은 \( I_n \)의 행들을 교환하여 얻어진 행렬임.

 

 

 

[R 실습] 기본행렬

 

\( \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 1 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} \)

* 기본행렬

 

\( \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 1 \\ 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} \qquad R_i \leftrightarrow R_j \)

* 두 행을 교환함.

* 기본행렬의 2행인 \( [ 0 \quad 1 \quad 0 ] \)와 3행인 \( [0 \quad 0 \quad 1] \)을 교환함.

 

\( \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \\ 2 \ 1 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} \qquad kR_j + R_i \)

* 한 행에 영이 아닌 상수배를 해서 다른 행에 더함.

* 기본행렬의 1행에 2를 곱한 값은 2행에 더함.

 

\( \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 3 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} \qquad kR_i \)

* 한 행에 영이 아닌 상수배를 함.

* 기본행렬의 2행에 3을 곱함.

 

a <- c(1,0,0,0,1,0,0,0,1)
A = matrix(a,3,3,T) # 원소 a, 3행, 3열, 순서대로

B <- A
B[B[2,] <- A[3,], B[3,] <- A[2,]]

B <- A
B[2,] <- A[2,]+A[1,]*2

B <- A
B[2,] <- B[2,]*3

 

 

 

기본행렬의 역행렬

 

기본행렬의 역행렬 또한 기본행렬임.

 

1)

2)

3)

 

 

a <- c(1,0,0,0,1,0,0,0,1)
A = matrix(a,3,3,T)
solve(A)

b <- c(1,0,0,0,0,1,0,1,0) # 1
B = matrix(b,3,3,T)
solve(B)

c <- c(1,0,0,0,2,0,0,0,1) # 2
C = matrix(c,3,3,T)
solve(C)

d <- c(1,0,0,0,1,0,0,2,1) # 3
D = matrix(d,3,3,T)
solve(D)

 

1)

2)

3)

 

 

 

가역행렬과 동치인 명제

 

임의의 \( n \)차 정사각행렬 \( A \)에 대하여 다음은 동치임. (증명은 7장)

 

1) \( A \)는 가역(invertible)행렬임.

2) \( A \)는 \( I_n\)과 행동치(row equivalent)임. (즉, \( RREF(A) = I_n \) 임)

3) \( A \)는 기본행렬(elementary matrix)들의 곱으로 쓸 수 있음.

4) \( Ax = 0 \)은 유일한 해(trivial solution) \( 0 \)을 가짐.

 

 

 

기본행연산

 

* \( A^{-1} \)이 존재할 때, \( Ax = 0 \)의 식에서 유일한 해 \( x= 0 \)을 갖게 됨.

* 기본행연산(ERO)을 유한히 반복함으로써, 단위행렬을 만들 수 있음.

* \( A \)가 단위행렬\( (I_n) \)과 행동치( \(A\)에 연산하면 \( I_n \))이므로 \( A \)에 취하는 유한번의 ERO에 해당하는 유한개의 기본행렬이 존재하게 됨.

 

기본행렬과 기본행 연산을 이용한 역행렬

 

 

 

기본행렬로 역행렬 구하기

 

\( [A : I_n] \rightarrow [I_n : A^{-1}] \)

1) \( [ \begin{bmatrix} a_{11} \ a_{12} \ a_{13} \\ a_{21} \ a_{22} \ a_{23} \\ a_{31} \ a_{32} \ a_{33} \end{bmatrix} ] : [ \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 1 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} ] \)

주어진 행렬 \( A \)에 단위행렬 \( I_n \)을 첨가하여 \( n \times 2n \)인 행렬 \( [A:I_n] \)을 만듬.

 

2) 단계 1에서 만든 행렬 \( [A:I_n] \)의 RREF를 구함.

 

3) 단계 2에서 얻은 RREF를 \( [C:D] \)라고 하면 다음이 성립함.

* \( C = I \)이면 \( D = A^{-1} \)임.

* \( C \ne I_n \)이면 \( A \)는 비가역이고 \( A^{-1} \)은 존제하지 않음.

 

Gasuss-Jordan 소거법을 이용한 역행렬 연산

 

 

 

[R 실습] 기본행렬로 역행렬 구하기 1

 

Q)

 

A)

 

1) \( [A:I_3] \)를 만듬.

 

2) \( [A:I_3] \)의 RREF를 구함.

 

3) \( C=I_3 \)이므로 \( D=A^{-1} \)임.

 

a <- c(1,2,3,2,5,3,1,0,8)
A = matrix(a,3,3,T)
solve(A)

 

 

 

[R 실습] 기본행렬로 역행렬 구하기 2

 

Q)

 

A)

\( C \ne I_3 \)이므로 \( A^{-1} \)은 존재하지 않음.

 

 

 

 

 

[R 실습] 기본행렬로 역행렬 구하기 3

 

Q)

 

A)

library(MASS)
a <- c(1,-1,2,-1,0,2,-6,4,11)
A = matrix(a,3,3,T)
solve(A)
fractions(solve(A))